Vystudoval herectví v Moskevském uměleckém akademickém divadle (MCHAT). Po několika rolích v nepříliš známých snímcích ve filmu prorazil až v Bondarčukově adaptaci románu Vojna a mír. Jeho životní rolí se stala titulní postava ze snímku Oblomov, který režíroval Nikita Michalkov.

Tabakov je známý také českým divákům, objevil se ve snímku Antonína Moskalyka Kukačka v černém lese. Na českých divadelních prknech se poprvé objevil v roce 1968 jako Chlestakov v Revizorovi v Činoherním klubu, v Praze v poslední letech několikrát hostovalo jeho divadlo Tabakerka. V roce 2008 mu byl udělen čestný doktorát na pražské DAMU.

Kromě herectví se Tabakov věnoval také divadelní režii, přednášel na Moskevském uměleckém akademickém divadle. Byl i jedním ze zakladatelů legendárního moskevského divadla Sovremennik.

Za svoji oddanost herectví, divadlu a výchově mladých umělců byl odměněn řadou vyznamenání v Rusku i mnoha mezinárodními cenami.