Veselý se narodil v Brně, původní profesí byl textilní výtvarník. Na hudební scéně se začal prosazovat koncem 60. let ve skupině Great Music Factory, na začátku 70. byl v angažmá v západní Evropě se skupinou Atlantis. Poté se stal členem Synkop 61, se kterými už v 60. letech spolupracoval jako autor skladeb Suita pro J. S. Bacha nebo Casanova.

V roce 1976 Veselý odešel do Prahy za nabídkou Radima Hladíka, hrál na albech Svitanie a Svět hledačů. V roce 1980 se vrátil k Synkopám 61, kde se prosadil jako vokalista, autor a lídr kapely. Brzy po jeho příchodu skupina upravila své jméno na Synkopy. „Ten název se mi od samého začátku moc nelíbil,” uvedl Veselý v rozhovoru pro Mladý svět v roce 1986. Kapelu směřoval k artrocku, což se odráží na albech Sluneční hodiny a Křídlení.

„Od 1985 pracuje s počítači a nechává se výrazně ovlivnit jejich možnostmi. Živou inspiraci pro něho představuje především Pavel Vrba, který se stal téměř výhradním autorem textů k jeho projektům,” uvádí Český hudební slovník.

Po roce 1990 Veselý ukončil koncertní činnost, založil nahrávací studio, věnoval se autorské a studiové práci pro film, divadlo, reklamu. Později vystupoval se skupinou E-band a ojediněle také jako host formací, ve kterých dříve působil. V roce 2011 vydal Veselý s E-bandem CD Restart. Hudebníkovu kariéru mapuje knižní biografie Černý racek.

„Oldřich Veselý a Synkopy z historického vývoje znamenají nejen pro Brno, ale i pro československou hudební scénu společně s Progres 2 významné artrockové milníky, jejichž význam je v kontextu historie domácí scény neopominutelný,” napsal publicista Petr Gratias v knize Decibely nad Brnem.