Antonín Kohout se narodil 12. prosince 1919 v Lubné u Rakovníka. Po absolvování nižšího gymnázia vystudoval pražskou konzervatoř a Hudební fakultu AMU. K jeho pedagogům patřili Karel Pravoslav Sádlo, Josef Micka a Karel Moravec.

V roce 1945 se stal zakládajícím členem Smetanova kvarteta, jednoho z nejlepších světových souborů tohoto druhu. Kvarteto odehrálo přes 4100 koncertů v Evropě, USA a Japonsku, natočilo přes 140 desek a významně se podílelo na propagaci české hudby, zvláště Bedřicha Smetany a Leoše Janáčka. Členy kvarteta v jeho historii byli například Václav Neumann, Milan Škampa či Jiří Novák. Závěrečný koncert Smetanova kvarteta se konal v Brně 27. června 1989 v Besedním domě.

Pedagogicky Kohout působil na pražské AMU, k jeho žákům patřili například členové Kubínova, Pražákova, Stamicova, Škampova a Wihanova kvarteta.