AI vyřešila matematickou záhadu za 88 hodin. Lidé si s ní lámali hlavu 90 let

OpenAI v noci na středu zveřejnila práci, kterou označuje jako řešení problému Navierových–Stokesových rovnic. Jde o jeden ze sedmi takzvaných problémů tisíciletí – matematických otázek, za jejichž vyřešení je vypsána odměna jeden milion dolarů.

Matematická komunita sice ještě musí posoudit, zda výsledek splňuje podmínky pro oficiální řešení problému tisíciletí, ale první ohlasy naznačují, že se záhadu skutečně podařilo rozlousknout.

Vezměte sklenici vody a roztočte v ní lžičku. Voda se začne pohybovat, vznikne vír a jednotlivé části kapaliny se ovlivňují navzájem. Jedna část se pohybuje rychleji, jiná pomaleji, mění se tlak a do hry vstupuje také vnitřní tření kapaliny.

Právě takové dění popisují Navierovy–Stokesovy rovnice. Používají se k popisu proudění kapalin a plynů – například vzduchu kolem letadla, vody v potrubí nebo různých atmosférických jevů. Samotné rovnice tedy nejsou záhadou. Vědci s nimi běžně pracují.

Problém je samozřejmě mnohem hlubší. Matematici chtějí vědět, zda v trojrozměrném světě platí něco, co bychom intuitivně očekávali: Když začneme s hladkým prouděním, zůstane hladké i v budoucnu? Nebo může dojít k něčemu mnohem dramatičtějšímu? Může se z normálního víru stát singularita?

V matematice tím v tomto kontextu myslíme sílu, která se v prostoru a čase mění plynule – bez skoků, ostrých hran nebo náhlých nekonečných špiček.

Představme si vír, který se stále více stáčí do sebe. Jeho struktura se zmenšuje, některé části proudění se zrychlují a změny se soustřeďují na stále menší prostor. Matematika pak připouští možnost, že v určitém bodě začne některá veličina růst bez omezení. Vznikne takzvaná singularita.

Laicky řečeno: dosavadní hladký matematický popis proudění přestane fungovat. Důležité přitom je, že se neptáme, zda se něco podobného někdy stalo v nějaké řece.

Jde o mnohem abstraktnější otázku: Existují taková hladká počáteční data a taková hladká vnější síla, při nichž se ve třech rozměrech řešení Navierových–Stokesových rovnic v konečném čase přestane chovat hladce?

Právě tuto možnost označuje oficiální formulace problému Clayova institutu jako jednu z cest, jak problém vyřešit. A podle OpenAI je odpověď ano. Jeho AI systém našel konstrukci, v níž z hladkého počátečního stavu vznikne v konečném čase singularita.

Společnost to popsala poměrně názorně: „Řešením je vír, rotující víření kapaliny, který se spirálovitě stáčí dovnitř a stále více se protahuje jako špageta.“

Jádrem konstrukce je podle OpenAI situace, kdy se centrální oblast víru zmenšuje a zároveň se její pohyb zrychluje. Některé veličiny tak mohou v konečném čase růst bez omezení, zatímco celková energie zůstává konečná.

Je tu ale jeden detail, který je pro správné pochopení výsledku zásadní. Nejde o tvrzení, že obyčejná voda ponechaná sama sobě začne bezdůvodně zrychlovat do nekonečna. OpenAI řeší variantu problému, v níž na tekutinu působí hladká vnější síla. Právě taková možnost je součástí oficiálního zadání problému.

Pozoruhodné je také to, že OpenAI nepoužila jednoho chatbota, kterému zadala otázku. Podle firmy na řešení pracovalo kolem 10 tisíc současně běžících AI agentů. Různé skupiny zkoušely různé přístupy a později mezi sebou sdílely nejzajímavější nápady. OpenAI k jejich propojování použilo také svůj nástroj Codex.

Celá fáze hledání řešení trvala přibližně 88 hodin. U podobně složitého matematického důkazu je problém i v tom, že text může vypadat přesvědčivě, a přesto obsahovat chybu.

Proto OpenAI použilo Lean. Jde o systém pro formální matematické dokazování, který dokáže strojově kontrolovat, zda jednotlivé kroky formálního důkazu odpovídají přesně definovaným pravidlům.

OpenAI uvádí, že jeho analytický důkaz byl následně formalizován v Lean a tato kontrola trvala dalších 17 hodin.

Při řešení Navierových–Stokesových rovnic si AI agenti mezi sebou poslali 2,7 milionu zpráv a vytvořili přibližně 130 miliard výstupních tokenů. To už se podobá spíš obřímu digitálnímu výzkumnému týmu než klasickému chatbotu.