Jiří Josek se narodil 31. března 1950 v Brně. Vystudoval angličtinu a češtinu na Filozofické fakultě Univerzity Karlovy. V letech 1975 až 1991 působil jako redaktor v nakladatelství světové literatury Odeon. Od roku 1991 vedl na Ústavu translatologie FF UK semináře literárního překladu a dějin překladu.

Přeložil 34 Shakespearových dramat a kromě toho také kultovní román Jacka Kerouaca Na cestě, prózu Williama Saroyana Tracyho tygr, román Ragtime od E. L. Doctorowa a řadu dalších prozaických děl.

Kromě dramatické tvorby Shakespearovy se Jiří Josek věnoval i dílům jiných divadelních autorů a přeložil například Žebráckou operu Johna Gaye, Skleněný zvěřinec Tennesseeho Williamse či Zabijáka Joe Tracyho Lettse. Díky jeho práci se českým čtenářům otevřel svět básnické tvorby Allena Ginsberga. Spolupracoval i s českou muzikálovou scénu, pro níž do češtiny převedl West Side Story, Mary Poppins či Vlasy.

Jiří Josek je držitelem řady cen za překlad, mezi nejvýznamnější patří Cena Josefa Jungmanna, kterou dostal v roce 1999 za překlad Shakespearova Hamleta.

V roce 1998 Jiří Josek založil nakladatelství Romeo, které vydalo desítky knih překladové literatury a také několik původních českých novinek. Základním pilířem nakladatelství jsou Joskovy překlady Shakespeara - vydal přes dvě desítky her a také básnické Sonety. V roce 1999 Josek jako režisér v ostravském Divadle Petra Bezruče připravil inscenaci Hamleta a režíroval poté ještě několik Shakespearových her.