Murray zemřel po mrtvici z minulého čtvrtka ve stejné nemocnici, v níž v prosinci 1954 uskutečnil průlomovou operaci. Se svým kolegou Johnem Merrillem tehdy úspěšně transplantoval ledvinu 23letého Ronalda Herricka jeho jednovaječnému dvojčeti Richardovi, jemuž jeho ledviny selhaly. Murray tak mladému muži prodloužil život o osm let.

Lékař si už během nasazení za druhé světové války, kdy vážně popáleným vojákům transplantoval kožní štěpy, uvědomil, že největší překážkou pro výměnu poškozených orgánů a tělesných částí je odmítavá reakce imunitního systému vůči cizí tkáni. Když se však na začátku 60. let objevily léky na potlačení imunitní reakce, nic už nebránilo provedení transplantace lidského orgánu od dárce, který nebyl příbuzným příjemce.

Transplantaci ledvin si ale Murray nejprve úspěšně vyzkoušel na laboratorních psech, než se odhodlal operovat bratry Herrickovy.

Stanice BBC poznamenala, že ačkoliv Murrayho činnost jen v Americe vedla ke stovkám tisíc transplantací a vyvolala vášnivé spory o etice, byl Joseph Murray hluboce věřící. „Práce je modlitba a já ji každé ráno věnuji našemu Stvořiteli,“ řekl před lety pro Harvard University Gazette.