Moustaki trpěl blíže nespecifikovanou chorobou dýchacího ústrojí, kvůli níž už několik let nemohl zpívat.

Narodil se 3. května 1934 v egyptské Alexandrii do židovské rodiny, v Paříži se usadil počátkem 50. let. Osudovým pro další kariéru se mu stalo setkání s tehdy už známým písničkářem Georgem Brassensem.

Za svůj vzor považoval legendární zpěvačku Édith Piaf, pro niž nakonec v roce 1958 napsal jednu z jejích nejslavnějších písní, Milord. Tu převzala řada interpretů po celém světě, v Česku ji proslavila Hana Hegerová, která ji nazpívala s českým textem Pavla Kopty.

Mezi další interprety, pro něž Moustaki, vlastním jménem Giuseppe Mustacchi, psal, patřili například Yves Montand či zpěvačka Barbara.

Celosvětově známou se stala například i romantická balada Le Métèque či skladba Ma slitude.