Vozněsenskij, vzděláním architekt, býval považován za pokračovatele Borise Pasternaka i ruských futuristů. Už jeho první verše, publikované na konci 50. let, vyvolaly hněv sovětských úřadů.

Spolu s básníky Jevgenijem Jevtušenkem a Bellou Achmadulinovou se stal i terčem kritiky přímo od někdejšího sovětského vůdce Sergeje Chruščova. Vozněsenského básně však v 60. letech vycházely v masovém nákladu a úspěch básník slavil i při svých zahraničních turné.