Kosta se narodil 19. dubna 1925 do pražské židovské rodiny. V červnu 1942 byl s rodinou deportován do Terezína, odtud v září 1944 do Osvětimi a v listopadu do Meuselwitz, pobočky tábora Buchenwald. Tábory jako zázrakem přežil, osvobození se dočkal v transportu smrti.

Ještě za války vstoupil do komunistické strany, v 50. letech se však od její ideologie distancoval. Jeho rodiče byli zatčeni za protistátní činnost a špionáž.

Kosta posléze pracoval jako bagrista a kuchař. V roce 1968 se zapojil do reformního hnutí, stal se ředitelem nakladatelství Svoboda. Po sovětské okupaci v roce 1968 emigroval do Švýcarska, záhy se usadil v Německu. Zde se stal generálním ředitelem nakladatelství Bundesverlag.

Navázal tak přátelské vztahy i s předními německými politiky a intelektuály. Díky těmto kontaktům se stal jednou z nejvýznamnějších osobností, podporujících československou exilovou literaturu a disidenty. Společně s Heinrichem Böllem a Günterem Grassem založil politicko-literární čtvrtletník  „L“, který dával prostor  československým disidentům i disidentům z Východního bloku.

V roce 1987 založil s Jiřím Grušou literární agenturu „Aura-Pont“, která zastupovala v zahraničí české disidentské autory, např. Ludvíka Vaculíka, Milana Uhdeho nebo Jiřího Dienstbiera.

V roce 1988 založil v Brně nakladatelství Atlantis, které začalo oficiálně fungovat v roce 1990 a vydávalo disidentská literární díla. V 90. letech byl vydavatelem „Zemských novin“ a deníku „Expres“.

Poradce tří premiérů

Byl poradcem tří českých premiérů: Vladimíra Špidly, Stanislava Grosse i Jiřího Paroubka (všichni ČSSD). Radil i bývalému spolkovému kancléři Gerhardu Schröderovi.

V 90. letech se významně zasloužil o česko-německo-židovské smíření. V roce 2005 se podílel na sepsání omluvy odsunutým německým antifašistům.

Ač byl sám členem německé sociální demokracie (SPD), poradce dělal i ministru zahraničí Karlu Schwarzenbergovi (dříve nestr. za SZ, nyní TOP 09).

Kosta byl nositelem několika německých státních vyznamenání.

Jeho starší bratr Jiří Kosta, uznávaný profesor ekonomie, zemřel loni v únoru. Bylo mu 93 let.